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3.7 Regions - 章节总结

不等式区域总结：掌握图像阴影表示不等式组的满足区域，学会边界线的虚实判断和多区域交集

## 核心规则总结

上下关系规则
区域与曲线的关系：
\( y < f(x) \) → 曲线下方
\( y > f(x) \) → 曲线上方
边界线虚实规则
包含边界：实线
不包含边界：虚线

## 通用绘制步骤

绘制多不等式区域的完整流程
  1. 绘制各边界线：根据不等式符号确定虚实线（\( >/< \)用虚线，\( \geq/\leq \)用实线）
  2. 确定每个不等式的区域：根据上下关系判断阴影方向
  3. 求交集区域：多不等式同时满足的重叠部分
  4. 测试验证：选择测试点验证区域正确性
  5. 标注区域：用阴影或颜色标识最终区域

## 关键要点回顾

必须掌握的核心要点
  • 上下关系决定不等式符号：上方对应 \( >/\geq \)，下方对应 \(
  • 边界线虚实由不等式符号决定：包含边界用实线，不包含用虚线
  • 多不等式区域是各不等式区域的交集（同时满足所有条件）
  • 测试点验证是确保区域正确性的重要方法
  • 交点坐标是区域顶点，决定区域边界
  • 定义域限制必须考虑（如分式函数的分母不为零）

## 思想方法总结

数形结合思想

将抽象的不等式组问题转化为直观的图像阴影区域，通过观察图像的相对位置，直接得出不等式的解，大大简化了复杂的代数判断。

分步验证策略

复杂的多不等式区域问题分解为：

  1. 逐个绘制单不等式区域
  2. 求所有区域的交集
  3. 用测试点验证正确性

## 常见题型总结

不等式区域常见题型
  • 直线型不等式组的三角形/多边形区域
  • 二次曲线与直线组合的复杂区域
  • 分式函数不等式的有界区域
  • 多边界条件的不规则区域
  • 区域顶点和面积计算的综合题

## 常见错误提醒

易错点及防范措施
  • 混淆边界虚实：记住 \( >/< \) 用虚线，\( \geq/\leq \) 用实线
  • 误判交集范围：多不等式要取交集，不是并集
  • 测试点选择不当：要选择明显在区域内或区域外的点进行验证
  • 忽略定义域限制：分式函数要排除分母为零的点
  • 交点计算错误：联立方程时要仔细整理，避免符号错误